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ちょっと難しいかも…Abraham, Marsden & RatiuのManifold, Tensor, Analysis, and Applicationsとかどうだろう？

今読みたいのはBlochのNonholonomic Mechanics and Controlかも…ちょっと読んでみてもいいんだろうか…

トゥー多様体とか…

一変数・多変数の微積から微分形式の話までもうちょっとすっきり、幾何的な気持ちを保ちつつまとめてみたいかも

他の本読んでからまた見返そうかな？

BachmanのA Geometric Approach to Differential Formsを一通り読んだ。約130ページで微分形式の導入〜微分幾何の入口を説明してる。曖昧な記述が多くて、重要そうな話も演習問題に放り込まれてたりするけど、幾何学的なイメージを伝えようとしてる気持ちは伝わってきた

あとは§3.2の結果を使えば、原点の周りでdx/dt=α±x²とlocally topologically equivalentと言える！

難しくはないけどいろいろ変数が出てきて展開したり変換したりするので結構ややこしい…

証明では、dx/dt=f(x,α)の右辺をx=0のまわりでTaylor展開し、変数変換してdη/dt=β±η²+O(η³)の形にできることを示す。
ステップ1: x=ξ+δの形の分解を考えて代入し、Taylor展開の1次の項の係数が消えるようにδ=δ(α)を決めてあげる。このとき陰関数定理を使っていて、前述の条件(a)が出てくる
ステップ2: Taylor展開の0次の項をμ=μ(α)とおく。このとき条件(b)が成り立てば逆関数定理を使って局所的にα=α(μ)とかける。これを使ってTaylor展開の2次の項もμの関数としてかける
ステップ3: スケール変換をすれば欲しい形が出てくる

ただし条件が２つつく:
(a) ∂²f/∂x²(0,0)≠0
(b) ∂f/∂α≠0
それぞれ証明の中で、陰関数定理とか逆関数定理とかを使うときに出てくる…

§3.3でさらに一般の1パラメタ、一次元のdx/dt=f(x, α)でも、平衡点(x, α)=(0,0)でヤコビアンの固有値λ=∂f/∂x(0,0)=0なら、原点の周りでfold分岐のnormal form dx/dt=α+x²と locally topologically equivalentなことが示される！すっきり！

これを示すには「パラメータ間のhomeomorphism」と、「パラメータαに依存した軌道間のhomeomorphism h_α」があることを示す必要がある。今の場合はパラメータ間は恒等写像としてる。このとき①と②で、αごとの平衡点の個数・安定性は同じことが確認できるα>0なら平衡点はなく、α=0ならx=0,y=0が平衡点になるので、h_αは恒等写像でよくて、α<0なら２つの平衡点が一致するような線型写像を考えればよい。こうしてh_αが構成できるのでlocally topologically equivalentだとわかる

これがどう標準形になってるか。具体例(?)として、①dx/dt=α+x^2と、②dy/dt=α+y^2+O(y^3)が原点近くで locally topologically equivalentなことが示されてる。

§3.2ではfold bifurcationの標準形dx/dt=f(x,α)=α+x^2について。位相ポートレートを描けば、パラメタα<0のときhyperbolicな平衡点x=±√(-α)があり、α=0のときはx=0にnonhyperbolicな平衡点があり、α>0のときは平衡点がなくなることがわかる

以降§3.2と3.3ではfold bifurcation、§3.4と3.5ではHopf bifurcation

パラメータを変えてhyperbolicでなくなるのにどんな状況があるかというと、①λ=0の固有値が出現（fold bifurcation）、②λ=±iωの固有値の組が出現（Hopf bifurcation）

Kuznetsovの§3.2までを読んだ。前章でhypepbolicな平衡点（ヤコビアンの固有値に純虚数がない平衡点）の話してるのはなんでだろうと思ってたけど、それは構造安定で難しくないからで、3章からが実は本題のnonhyperbolicな平衡点の話

n次元だとどうかというと、必要十分条件は知られてないらしい。十分条件はわかっててMorse-Smale条件というのがあるけど、これを満たさなくても構造安定な力学系もあるとか。気になる

最後に、2次元の力学系での構造安定性の必要十分条件(Andronov-Pontryaginの条件)が出てくる。①領域内の平衡点・リミットサイクルの個数が有限で全てhyperbolicであり、②同じsaddleに戻ったり２つのsaddlesをつないだりするようなsaddle separatricsがないこと。この話面白そうなのでもっと詳しい本読みたい

この例を元に、もう少しきちんと構造安定性が定義される。ただ、locally topological equivalenceを示すときの境界の扱いがややこしくて、境界に平衡点があったりすると何か困るらしい（ここはあまりどう困るかよくわかってない）そこで「構造安定性を示す領域」と「topological equivalenceの対象領域」を別々にとったAndronovの構造安定性が導入される

dx/dt=f(x)のヤコビアンA0と、dx/dt=f(x)+εg(x)のヤコビアンAεの固有値のなめらかさ(?)から、純虚数の固有値がないこと(x(ε)がhyperbolicな平衡点であること)、正・負の固有値の個数が変わらないことが示せて、このことからtopological equivalenceを示せる（ここもあやふや）

x(ε)が存在することについて。x0はhyperbolicだからヤコビアン行列A0はdet A0≠0なので(?)、陰関数定理よりF(x, ε)=f(x)+εg(x)=0を満たすx(ε)が存在する…らしい（あやふや）

dx/dt=f(x)にhyperbolicな平衡点x0があるとき、dx/dt=f(x)+εg(x)では、|ε|が小さいならεに応じたhyperbolicな平衡点x(ε)が存在して、その近傍では(dx/dt=f(x)のx0まわりと)topologically equivalent…つまり構造安定である

§2.5は構造安定性。軌道に少し摂動を加えたときにtopologically equivalentなままかどうか。この辺り少し難しい気がする。

genericity conditionという話が出てきたけどあまりよくわかってない。非退化性とかを決めているようだけど…

平衡点の局所分岐をこの同値関係で分類したときの、各同値類の代表がtopological normal form。その具体的な話が3章から始まるんだと思う

§2.4ではパラメタつきの力学系での(locally) topological equivalenceが定義される。パラメタ空間の同相写像と、パラメタ依存の軌道間のの同相写像を考えるので少し複雑

パラメタ空間でtopologically equivalentな位相ポートレートを持つ点の連結集合を描いたのが分岐ダイアグラム。パラメタ空間の次元と、分岐境界の次元の差を、分岐の余次元(codimension)と言い、分岐を決める独立な条件の個数を表しているので大事

平衡点やサイクルの近傍で判別できる局所的な分岐だけでなく、ヘテロクリニック分岐・ホモクリニック分岐など大域的な分岐の例が出てくる。この辺りは後の章で詳しくやるようなので楽しみ

§2.3に入るとパラメタつきの力学系dx/dt=f(x, α)が出てきて、パラメタを変えたときのtopological equivalentでない位相ポートレートの出現として「分岐」が導入される

あとこの辺で局所安定多様体定理がでてくるけれど、この辺りの議論での重要さがあまりまだ腑に落ちてない。