幻の粒子

微分形式の一般論がほしい。

∃A∃f((A⊂Real ∧ Aは開集合 ∧ f∈Map(A,Real)) ⇒ ∃B(B⊂Real ∧ Bは開集合 ∧ D(f)∈Map(B,Real)))
これが有限回つながるような(A,f,B)のセットで、微分方程式を調べる
そのつながる回数をnとすれば、n階の微分方程式を調べることができるかも

一般化した微分
D := { (f,g) | f∈Map(Real,Real) ∧ g⊂Prod(Real,Real) ∧ g={ (x,y) | x,y∈Real ∧ ∀φ((φ,x)∈Lim ⇒ ∃ψ(((f,x,φ),ψ)∈slope ∧ (ψ,y)∈Lim)) } }

D(f)は必ずしも関数になるとは限らないが、集合としての実体はある

ある点に収束する点列から指定関数の傾き値の列を求める
slope := { ((f,x,φ),ψ) | f∈Map(Real,Real) ∧ x∈Real ∧ φ,ψ∈Map(Nat,Real) ∧ (φ,x)∈Lim ∧ ψ={ (n,y) | n∈Nat ∧ y∈Real ∧ x≠φ(n) ∧ y=frac(sub(f(φ(n)),f(x)),sub(φ(n),x)) } }

収束列と収束点の対の集合
Lim := { (φ,x) | x∈Real ∧ φ∈Map(Nat,Real＼{x}) ∧ ∀r(r∈(0,∞) ⇒ ∃n(n∈Nat ∧ ∀k((k∈Nat ∧ n<=k) ⇒ abs(sub(φ(k),x))<r))) }
Lim ⊂ Prod(Map(Nat,Real),Real)

論理、集合論、計算論、数系、圏論
群論、環論、加群論、体論、順序体論、代数多様体
位相、位相多様体、可微分多様体、リーマン多様体、複素多様体、
ホモロジー、ホモトピー
複素解析、測度論、積分論、ヒルベルト空間、バナッハ空間、
調和解析、超関数論、確率解析、多変数関数論
微分方程式論
量子化、流体力学、統計力学、宇宙論、素粒子論
統計、機械学習

f,g∈Map(Nat,Real)
g(n)=O(f(n)) :⇔ ∃K∃c(K∈Nat ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀n((n∈Nat ∧ K<=n) ⇒ |g(n)|<=c*|f(n)|))

f,g∈Map(X,Y)
g(x)=O(f(x)) (x->∞) :⇔ ∃K∃c(K∈X ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ K<=x) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))

a∈X
g(x)=O(f(x)) (x->a) :⇔ ∃c∃d(c,d∈Real ∧ c,d>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ 0<|x-a|<d) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))

(つづき)
id:={ (x,f) | x∈Univ(a) ∧ f∈MapClass ∧ { (y,y) | y∈x }=f }

このとき
(ob,ar,form,com,id)は圏、小さい圏と呼ぶ

∀x∀f∀((x∈On ∧ f∈Cap(MapClass,Univ(x))) ⇒ Dom(f),Ran(f)∈univ(x))

ω⊂a∈On
ob:=Univ(a)
ar:=Cap(MapClass,Univ(a))
form:={ (f,(x,y)) | f∈Cap(MapClass,Univ(a) ∧ x,y∈Univ(a) ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com:={ ((f,g),h) | f,g,h∈MapClass ∧ { (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }=h }
(つづく)

集合圏

ob := V := Union({ Univ(x) | x∈On })
ar := MapClass
form := { (f,(x,y)) | f∈MapClass ∧ x,y∈V ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com := { ((f,g),{ (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }) | f,g∈MapClass }
id := { (x,{ (y,y) | y∈x }) | x∈V }
(ob,ar,form,com,id)は圏、集合圏と呼ぶ

∀f(f∈MapClass ⇒ (∅⊂Dom(f) ∧ Ran(f|∅)⊂∅))

(ob,ar,form,com,id)は圏 :⇔
(form⊂(ar×(ob×ob))∧
com∈Map((ar×ar),ar)∧
id∈Map(ob,ar)∧
∀f(f∈ar ⇒ ∃x∃y(x,y∈ob ∧ (f,(x,y))∈form))∧
∀f∀g∀h∀x∀y∀z∀w((f,(x,y)),(g,(y,z)),(h,(z,w))∈form ⇒ com(com(f,g),h)=com(f,com(g,h)))∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form ⇒ ((id(x),f),f),((f,id(y)),f)∈com)∧
∀x(x∈ob ⇒ (id(x),(x,x))∈form)
)

Fは圏CからDへの関手 :⇔
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa) ∧
{ Fo(x) | x∈ob(C) }⊂ob(D) ∧
{ Fa(x) | x∈ar(C) }⊂ar(D) ∧
{ (Fa(f),(Fo(x),Fo(y))) | (f,(x,y))∈form(C) }⊂form(D) ∧
{ ((Fa(f),Fa(g)),Fa(h)) | ((f,g),h)∈com(C) }⊂com(D) ∧
{ (Fo(x),Fa(f)) | (x,f)∈id(C) }⊂id(D)
)

tは圏CからDへの関手FからGへの自然変換 :⇔
(t∈Map(ob(C),ar(D)) ∧
∀x(x∈ob(C) ⇒ (t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)) ∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form(C) ⇒ com(D)(t(x),Ga(f))=com(D)(Fa(f),t(y)))
)

(t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)
(t(y),(Fo(y),Go(y)))∈form(D)
(Fa(f),(Fo(x),Fo(y)))∈form(D)
(Ga(f),(Go(x),Go(y)))∈form(D)

F=(Fo,Fa)

Cは圏 ⇒ C=(ob(C),ar(C),form(C),com(C),id(C))

FはCからDへの関手 ⇒
F∈Prod(Map(ob(C),ob(D)),Map(ar(C),ar(D))) ⇒
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa))

tはCからDへの関手FからGへの自然変換 ⇒ t∈Map(ob(C),ar(D))

P[x_1 , ... , x_n]は自由変数x_1 , ... , x_nのみを含む論理式とする
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 :⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)

∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ({ (x,y) | P[x,y] }は写像 ∧ { (x,y) | P[x,y] }=∅) ⇒ ∅は写像

∀x∃y(￢P[x,y]) ⇔ ￢∃x∀y(P[x,y])
?

Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B })は写像にはならない

F(b):={ (a,(a,b)) | a∈A }∈MapClass
F:={ (b,{ (a,(a,b)) | a∈A }) | b∈B }∈Map(B,MapClass)
Union({ Ran(f) | f∈Ran(F) })={ (a,b) | a∈A ∧ b∈B }
Union({ Ran(f) | f∈Ran(F) })=Union({ Ran(F(b)) | b∈B })

x∈On
Univ(x):=Intersect({ S | x∈S
∧ ∀u(u∈S ⇒ Pow(u),Union(u)∈S)
∧ ∀u∀v(u,v∈S ⇒ (u,v),{u,v}∈S)
∧ ∀u∀v(v∈u∈S ⇒ v∈S)
∧ ∀f((f∈MapClass ∧ Dom(f)∈S ∧ Ran(f)⊂S) ⇒ Ran(f)∈S) })

Prod(A,B):=Ran(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }))
∀A∀B(A,B∈Univ(x) ⇒ Prod(A,B)∈Univ(x))

∀A∀B(∀b(b∈B ⇒ { (a,(a,b)) | a∈A }∈MapClass))
∀A∀B({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }⊂MapClass)
∀A∀B(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B })∈MapClass)
Prod(A,B):=Ran(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }))
Dom(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }))=A
∀A∀B(A,B∈Univ ⇒ Prod(A,B)∈Univ)

∀a∀b(a,b∈Univ ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)

葉層構造から葉空間を導くということとは

場とは何か
場の量子化の手順
量子場とは何か

Mat((m,n),R):= { (A|Seg(m)×Seg(n)) | A∈Mat(R) }
R成分の(m,n)行列全体

Seg(m):={ k | k∈Nat ∧ k<m }

E:=Cup({ ((i,i),1) | i∈Nat },{ ((i,j),0) | i,j∈Nat ∧ i≠j })
(Mat(R),+,O,×,E)は行列環

Zを整数全体として
NatをZに変えてもいけそう

x∈R, i,j∈Nat
emb((i,j),x):=Cup({ ((i,j),x) },{ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat＼{(i,j)} })
emb((i,j),x)∈Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R)
A∈Mat(R) ⇒ A=Σ{ ((i,j),emb((i,j),A(i,j))) | (i,j)∈Nat×Nat }　・・・①
emb((i,j),x)×emb((j,k),y):=emb((i,k),x×y)　･･･②
j≠k ⇒ emb((i,j),x)×emb((k,l),y):=O　･･･③
①②③で行列の乗法が定義

(R,+,×)は環
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }

A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群

aは定数、xは変数
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a

n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }

位相幾何学に入る前にホモロジー代数をやっておいた方が良さそう。ホモロジー代数では鎖複体という抽象性の高い所から話が始まるので内容がすっきりしていて理論全体の見通しが良いらしい。

群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。

R[G]⊂R
R[G]=Map*(G,R)⊂Map(G,R)
どっちの視点に立つか
後者の方が一般性がありそう

φ,ψ∈Map(G,R), σ∈G
(φ+ψ)(σ):=φ(σ)+ψ(σ)

(φ×ψ)(σ):=?

x∈R
emb(σ,x):=Cup({ (σ,x) },{ (ρ,0) | ρ∈G＼{σ} })∈Map(G,R)
φ∈Map*(G,R) ⇒ φ:=Σ{ (σ,emb(σ,φ(σ))) | σ∈G }

emb(σ,x)×emb(ρ,y):=emb(σ*ρ,x×y)

CMap(X,Y)はXからYへの連続写像全体
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))

xは推移的 :⇔ ∀y∀z(z∈y∈x ⇒ z∈x)
On:={ x | xは推移的 ∧ ∀y(y∈x ⇒ yは推移的) ∧ ￢(x∈x) }
Onは順序数全体
cf(LimOn)=cf(On)？