け

命題論理における完全性定理を示した後に、「矛盾命題を証明することが出来ない」ことを確認するわけか。

それにしても、ウルトラフィルターの特徴付けに有限交差性が出てくるので
、やはり数学は全てトポロジーだ！のお気持ちになってる

超積の定義、ようやく理解できたー
あとはLosの定理を確認して、一階述語論理におねるコンパクト性定理の超積を使った証明を確認するぞ！

今更ながらホモトピー同値について確認したけど、これは「圏同値」としての概念だ！確かに同相よりも弱い概念として与えられている。

また、位相空間Sの点xにおける連結成分C(x)とは、xを含むSの連結集合全体の和集合のことである。これは、関係R⊂S^2を(x,y)∈R ⇔ C(x)=C(y) と定めることにより、同値関係を形成する。

本題に入るが、「Sが完全不連結」というのは、Sの任意の点の連結成分が一点集合となる場合を表す。

Stone双対性において「完全不連結」という概念が出てきたけど、再度そもそもの「連結」についてのおさらい。

『連結』とは、直感的なイメージでは「点と点が連続している状態」を指すもので、実際に通常の位相を加えた実数上においては、『実数全体あるいは区間』のみが連結となる。

形式的な定義は、こうである。
位相空間Sが非連結とは、Sのある開集合U, Vによって、次が成立する状態を指す。
1. U∩V ≠ ∅
2. U∪V ⊃ S
3. U∩S ≠ ∅ かつ V∩S ≠ ∅
そして、Sが連結であるとは、「Sが非連結でない」状態であると定義する。

実対称行列における二次形式が変数変換に対応しているのが、今納得がいって「あぁ〜！」というお気持ち

圏Cにおいて、f: X→Yが同型であることと、任意の対象Zに関する押し出しf*: C(Z, X)→C(Z, Y)は同型写像であることが同値
↑
圏論において対象を知るためには、同型を除いて「対象が他の対象と持つ関係性」のみを探ればよいことをいっている。
もちろん、これが成り立つのは押し出しだけではなく引き戻しに関しても同型写像であることが言えるから！

「抽象的なベクトル空間」というのは、特に「これっぽっちも」列ベクトルのようなものである必要は無いんですよね。

ただし、任意のベクトル空間には基底が存在していて、特に体K上のベクトル空間について言えば、ベクトル空間の任意のベクトル空間は線形結合により表されるわけで、その係数を用いてK^m上のベクトル（つまり、特殊なベクトル）として表現することが出来るという話ですね。
一般に、有限次元のベクトル空間は体KにおけるK^mベクトル空間と同型になりますから、その意味において「列ベクトルと同一視できる」という話ですねー

抽象的な代数学のゼミに1年間参加したことで、そうした数学的素養が培われたと考えて良いのかな。

この1年間で線形代数に対する解像度がとても高くなった気がする…。全然線形代数をやっていないのにも関わらず…！

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これほしい

まあ，ある半順序集合について，上限を持つことと上に有界となることは明らかに同値か

フィルターを環の直積を具体例に確かめようの会

んぎ…Henkinモデルを使わずに一階述語論理のコンパクト性定理を考えたいよー
HだのLKだの考えるのはもうコリゴリだよー

「n」個の有限整列集合Aと、ペアノの公理により構成される自然数における部分集合{1, 2, ..., n}は順序同型であり、このとき順序同型関係によるAの属する同値類を自然数nという。
↑
メタ言語としての「n」が〜というのが、うちのゼミの教授の口癖だった…

- 超限帰納法
- λ計算
- 直観主義論理
- カリーハワード対応

数列の収束性を示すときにコーシー列と同値になることを使ったので、コーシー列の有用性に気付けた

複素解析買ったからまじでウキウキ

そこ以外の送り先が一致するから，比べる部分が「その特定の行」のみとなり，一変数関数としてみなせるからって，単純に解釈していいのか？
なんかフワフワしていて，もっと詰められる気がするなー

ベクトル値関数f(x)について，f(a)-f(b)の特定の行成分以外が一致していたら，そこについて平均値の定理を使えるのってなんでだ？

東大出版の複素解析とアウディの圏論の和訳が欲しいよー…
お金の入出が確定して余ってたら買うかー…

5番目の問題はPAの超準モデルの無矛盾性だな。有限部分の理論で表される閉式が有限個になることをどう考えるか、もう少し詰めるか。

Sが全順序集合であるとき，Sに無限下降列が含まれることとSが整列集合であることが同値となる　という話．
これ，当時は証明読んで「あ〜なっとく」ってなったけど，よくよく読み返してみると，これどこに全順序集合であることを使ってるんだ？最小限が存在しないときに現れる不等号で使われてるのかな？

局所コンパクトのにおいがしますネ...

いや，嘘ついた．
連続であるのはそうなんだけど，±∞の逆像もまた同様にM_Aに入らなければならない事は注意しないといけない．

A,Bを位相空間とする．f:A→Bがルベーグ可測写像であるということは，Aにおけるルベーグ可測全体集合M_Aについて，Bの任意の開集合O'による逆像f^{-1}(O')がM_Aに属することを意味する．
ということは，Aの任意の開集合はルベーグ可測集合であれば，fが連続であれば，明らかにfはルベーグ可測写像となるんだよな．

言語Lについてφ∈Lってなんや，Lの要素かと思ったら，バチバチにLの”論理式”としてのφという意味で泣いてしまった．新井のどこに書かれてるんやこれ...（新井もこの書き方を使ってる）

MikTeX便利だ〜！

ずっと考えていた問題，ようやく解けたのでLaTeXでまとめますかねっと