Thomas Heichele

Gute Einführungen in die Philosophie der Mathematik sind z.B. BEDÜRFTIG, THOMAS / MURAWSKI, ROMAN (2012): Philosophie der Mathematik. 2., erweiterte Auflage. Berlin, Boston: de Gruyter, und NEUNHÄUSERER, JÖRG (2019): Einführung in die Philosophie der Mathematik. Berlin: Springer. Mit Blick auf die reine Mathematik empfehlenswert ist z.B. ARENS, TILO ET AL. (2021): Grundwissen Mathematikstudium. Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. 2. Aufl. Berlin: Springer Spektrum, mit Blick auf die Grundlagen der Mathematik nahezu unschlagbar ist HOFFMANN, DIRK W. (2018): Grenzen der Mathematik. Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik. 3. Aufl. Berlin: Springer. Ein Klassiker der Einführung in die Mengenlehre ist z.B. EBBINGHAUS, HANS-DIETER (2021): Einführung in die Mengenlehre. 5. Aufl. Berlin: Springer.

gilt die Kontinuumshypothese, in einem anderen nicht. Demnach gäbe es u.a. auch unterschiedliche Mengen reeller Zahlen und ihre Eigenschaften hingen davon ab, auf welches mathematische Universum Bezug genommen wird.

elementaren mengentheoretischen Axiomen folgt, als nicht für sich selbst existierend anzusehen.

Eine weitere Möglichkeit zur Aufrechterhaltung des mathematischen Platonismus besteht in der in jüngster Zeit viel diskutierten Annahme von (mindestens) zwei mathematischen Universen: In einem

unentdeckten weiteren Axiom, dessen Hinzufügen zur Mengenlehre die Kontinuumshypothese eindeutig entscheidet, oder – in der Tradition LEOPOLD KRONECKERS (1823-1891) – die menschenunabhängige Existenz mathematischer Gegenstände auf bestimmte Bereiche einzuschränken und alles, was nicht aus

Teilmengen der reellen Zahlen frei entscheiden zu können, steht mit dieser subjektunabhängigen Existenz im Widerspruch.

Zur Vermeidung dieses Widerspruchs und Rettung des Platonismus wurden mehrere Vorschläge gemacht, wie z.B. – dies hatte u.a. GÖDEL favorisiert – das Festhalten an einem bislang

gelten kann: Nach ihm existieren die mathematische Gegenstände wie Mengen, Zahlen, Funktionen, Relationen, Räume usw. als abstrakte Entitäten unabhängig von (unseren) geistigen Prozessen.

Der aus den Erkenntnissen über die Kontinuumshypothese resultierende Umstand, über die Existenz gewisser

enthält, aber durch Bijektion weder auf diese noch auf die reellen Zahlen abbildbar wäre.

Das Unbehagen bezüglich der Situation hinsichtlich der Kontinuumshypothese betrifft u.a. den mathematischen Platonismus (bzw. Realismus), der bis heute als Standardposition in der (Philosophie der) Mathematik

zwischen den Mächtigkeiten der Mengen der natürlichen und der reellen Zahlen liegt – CH lässt sich ebenso widerspruchsfrei zu ZFC hinzufügen wie die Negation von CH. Diese Menge, deren Mächtigkeit zwischen ℕ und ℝ liegt, wäre eine Teilmenge der reellen Zahlen, die zwar die natürlichen Zahlen

Erkenntnis, dass es auf Basis der allgemein anerkannten Grundlagen nicht entschieden werden kann.

Gleichwohl ist dieser Umstand für viele unbefriedigend: Offenbar liegt es an uns zu entscheiden, ob wir die Kontinuumshypothese akzeptieren und damit eine Menge anerkennen, deren Mächtigkeit

1963, dass dies auch für die Negation von CH gilt. Anders formuliert: GÖDEL zeigte, dass CH im Rahmen von ZFC nicht widerlegt werden kann, COHEN, dass CH im Rahmen von ZFC nicht bewiesen werden kann.

Die „Lösung“ von HILBERTS erstem Problem auf der Liste der 23 Herausforderungen besteht in der

Problem der Kontinuumshypothese heute gelöst: KURT GÖDEL (1906-1978) konnte 1938 beweisen, dass CH relativ zu ZFC – der ZermeloFraenkel-Mengenlehre (ZF) mit Auswahlaxiom (C); das ist der axiomatische Rahmen, in dem die Mathematik heute betrieben wird – widerspruchsfrei ist, PAUL COHEN (1934-2007)

Menge, die größer ist als die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, aber kleiner als die überabzählbar unendliche Menge der reellen Zahlen.

Ob die Kontinuumshypothese wahr ist bzw. wie mit ihr umzugehen, beschäftigt Mathematiker und Philosophen bis heute. Zumindest in gewisser Weise ist das

setzte sie 1900 auf seiner berühmten „Liste der mathematischen Probleme“ an Platz 1.

CH besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der Menge ℕ der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der Menge ℝ der reellen Zahlen liegt.

Anders formuliert: Es gibt keine

Die sogenannte Kontinuumshypothese (CH; continuum hypothesis) betrifft eines der großen Rätsel der (Grundlagen) der Mathematik.

Sie wurde 1878 von GEORG CANTOR aufgestellt und DAVID HILBERT (1862-1943)

Heute vor 181 Jahren wurde Georg Cantor geboren!

Cantor zählt zu den größten Mathematikern der Geschichte: U.a. ist er der Begründer der Mengenlehre und Vater des modernen Nachdenkens über Unendlichkeit.

Ihm zu Ehren ein kleiner Exkurs über die Kontinuumshypothese:

keinen "anständigen" Menschen halte. Mir ist oft einfach die (Frei)Zeit zu schade, um (aus vielen Gründen) irgendwie Gefahr zu laufen, mit der Person in irgendeinen Kontakt zu kommen.

Ich bin seit langer Zeit beim Blocken auf Social Media sehr schmerzlos.

Wenn jemand kein "anständiger" Mensch ist und ich bekomme das mit, ist die Wahrscheinlichkeit des Blocks groß. Aber die Umkehrung gilt nicht: Aus einem Block von mir ist nicht abzuleiten, dass ich die Person für

Der Account spricht ahnungslos über philosophische Themen, behauptet, es seien keine philosophische Themen, und schreibt als Höhepunkt noch "Mit Philosophen diskutiere ich dieses Thema nicht". Da war ein Block naheliegend ...

NB: Ich habe den Account nach kurzem Lesen des Threads blockiert.

US Troops were told Iran war is for 'Armageddon,' return of Jesus - Asia Times A combat-unit commander told non-commissioned officers at a briefing Monday that the Iran war is part of God’s plan and that President Donald Trump was

Völlige geistige Umnachtung, die eine konsequente Fortführung bisheriger fundamentaltheistisch konnotierter intellektueller Komplettausfälle ist.

Dort steht was bitte?!

NB: Ich bezweifle nicht, dass das eine sehr unangenehme Situation ist. Aber es entbehrt (gerade auch vor dem Hintergrund einer erhofften Hilfe aus / von Deutschland) nicht einer gewissen Ironie mit Blick auf das, was sie stets für Dubai im Kontrast zu Deutschland propagiert haben.

a man in a suit is making a funny face and saying oh no ! ALT: a man in a suit is making a funny face and saying oh no !

Ich kann das Jammern der migrierten Lifestyle-Crypto-Network-Dubai-Influencer, von dem nun zu hören ist, nicht selber lesen, weil ich diese armseligen Kasper soweit es nur irgendwie geht alle blockiert habe.

Für den hier präsentierten Umstand gibt es auch ein lateinisches Schlagwort – „ex contradictione sequitur quodlibet“ („aus einem Widerspruch folgt Beliebiges“).

dass der Mond aus grünem Käse besteht, aber es gilt generell: Aus einem beliebigen Widerspruch lässt sich jede beliebige Aussage ableiten. Und eine solche Willkür ist weder rational akzeptabel noch praktisch wünschenswert.

NB:

dass mindestens eine der beiden Aussagen „p“ und „q“ wahr ist, und da „p“ nicht wahr ist, ist also „q“ wahr. Das wiederum bedeutet, dass aus (4) in Verbindung mit (3) folgende Aussage folgt:

(5) Der Mond besteht aus grünem Käse.

Hier wurde gezeigt, wie aus einem Widerspruch folgt,

(4) Berlin ist die Hauptstand Deutschlands oder der Mond besteht aus grünem Käse.

Nun gilt in der Logik aber auch eine basale Schlussregel, die „disjunktiver Syllogismus“ heißt: Aus „p oder q“ und „nicht p“ folgt „q“. Das „oder“ legt fest,

dass mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Da „p“ wahr ist, ist es völlig egal, ob „q“ wahr oder falsch ist – die Aussage „p oder q“ ist ebenfalls immer wahr. Das alles führt dazu, dass aus (2) z.B. folgende Aussage logisch folgt:

die sogenannte Disjunktionseinführung: Wann immer man eine Aussage „p“ hat, darf man sie durch ein (inklusives) „oder“ mit einer beliebigen Aussage „q“ verknüpfen. Das bedeutet: Wenn eine Aussage „p“ wahr ist, kann man daraus die komplexere Aussage „p oder q“ machen – denn das „oder“ zeigt an,